Journée Algèbre et Représentations Reims-Amiens - JARRA 2012

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La théorie des algèbres de Hopf combinatoires a fait apparaître un certain nombre d'objets à la fois libres et colibres :
- L'algèbre de Hopf des permutations de Malvenuto et Reutenauer,
- L'algèbre de Hopf des arbres plans de Connes et Kreimer,
- L'algèbre de Hopf des arbres binaires de Loday et Ronco,
- ...

Tous ces objets ont certaine propriétés communes, telles que l'autodualité, ou le fait que l'algèbre de Lie de leurs éléments primitifs est libre, par exemple. Nous allons étudier les questions suivantes :

1) Une algèbre de Hopf libre et colibre est-elle toujours auto-duale ?
2) Deux algèbres de Hopf libres et colibres de m�me série formelle sont elles isomorphes ?
3) Que peut on dire de des séries formelles des algèbres de Hopf libres et colibres ?
4) Peut on construire toutes les algèbres de Hopf libres et colibres ?

Sur les parenthésages d'un produit x₁ ... x_n, on peut mettre un ordre partiel très simple et naturel. Cet ordre partiel apparait dans des contextes variés, qui vont des algèbres amassées aux invariants diagonaux, en passant par les opérades. On parlera en particulier de la catégorie dérivée des modules sur cet ordre partiel, et du calcul du spectre de la transformation de Coxeter de cette catégorie.

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Nous montrerons comment construire une action du groupe des tresses à 2n+2 brins sur le groupe libre à 2n générateurs. Cette action est "symplectique" et, dans le cas où n = 2, permet d'obtenir une présentation de type groupe de tresses du groupe modulaire symplectique Sp₄(Z).