Organisateurs

• Nicolas Jacon
• Valentin Ovsienko
• Michael Pevzner
• Rupert Yu

    Partenaires

• Projet Incitatif Amont "Algèbre et applications" de l'Université de Reims Champagne-Ardenne
• Laboratoire de Mathématiques de Reims EA 4535
• Fédération de recherche ARC (Amiens-Reims-Compiègne) Mathématiques FR 3399

    Information pratique

• Venir au Campus Moulin de la Housse - Plan (pdf)
  De la gare de « Reims » ou centre ville de Reims - prendre le bus numéro 3 (direction Moulin de la Housse) et descendre à l'arrêt « Faculté des Sciences » ou « Moulin de la Housse ».
  

  De la gare « Champagne-Ardennes TGV » - prendre le TER ou le tram B pour la gare de « Reims », et puis prendre le bus numéro 3 comme indiqué dessus.
  

    Cours

• Jacques Alev (Reims)
  Algèbres de Lie et applications en physique des particules.
  Le but de ce mini-cours est de présenter les résultats algébriques qui interviennent dans ce qui a été appelé "the eightfold way", la voie octuple, en Physique des Particules par Gell-Mann et Neeman. Il s'agit essentiellement de l'interprétation physique de la décomposition de certains produits tensoriels de représentations de sl(3). Je commencerai avec les définitions et théorèmes de base sur les algèbres de Lie et leur représentations ; l'algèbre linéaire est essentiellement le seul prérequis.
• Philippe Caldero (Lyon)
  Représentations de carquois et systèmes de racines.
  On pourrait imaginer qu'en M2, les objets fondamentaux de l'algèbre linéaire, c'est-à-dire le degré un, finalement, sont bel et bien rangés, classifiés, mesurés et répertoriés. En effet, vous avez certainement classifié les espaces vectoriels par la dimension, les applications linéaires par le rang, les endomorphismes par les valeurs propres, et les polynômes caractéristiques, voire même, les invariants de similitude... Certains savent peut-être aussi classer des familles de droites du plan à l'aide du birapport, ou des paires de drapeaux par le groupe symétrique.
      Vous avez aimé ça? Vous en demandez encore? Nous allons voir que tous ces problèmes se fondent en un seul, bien plus vaste et ambitieux. On pourrait même dire qu'il s'agit là de la généralisation ad libitum de la théorie de la réduction des endomorphismes, voire "du" problème universel de l'algèbre linéaire, mais l'abus d'une boisson énergisante à une heure tardive est peut-être à l'origine de cette révélation.
      Nous verrons donc ensemble la théorie des représentations de carquois de Peter Gabriel. Les premières définitions, les illustrations naturelles de la théorie et les résultats de base avec des preuves qui évitent la grosse artillerie habituelle de géométrie algébrique et d'algèbre homologique.

• Cédric Lecouvey (Tours)
  Quelques aspects probabilistes de la théorie des représentations.
  Le but de ce mini-cours sera de montrer que la combinatoire des systèmes de racines de type A contrôle l'évolution de marches aléatoires naturelles ainsi que celle de leur conditionnement à rester dans des cônes. Il s'agit là en fait d'un cas particulier d'un phénomène plus général reliant la théorie des représentations des algèbres de Lie et l'étude de marches aléatoires dans un réseau. Cependant, les méthodes qui seront présentées ne nécessiteront que des pré-requis très limités dans les deux domaines. Ceux-ci feront l'objet de tous les rappels nécessaires.
• Valentin Ovsienko (Reims)
  Les frises de Coxeter et les équations en récurrences.
  Les frises est une belle invention de Coxeter qui date du 1970. Cette notion relie plusieurs sujets d'algèbre, théorie de nombres et géométrie. Les frises sont devenues d'actualité dans les mathématiques d'aujourd'hui grâce aux relations avec les algèbres amassées, une nouvelle théorie algébrique et combinatoire. Dans ce cours, la notion de frises et leurs propriétés seront expliquées dans le contexte largement inspiré par les applications.
• Michael Pevzner (Reims)
  Isomorphisme de Duflo et théorème de formalité de Kontsevich.
  L'isomorphisme de Kirillov-Duflo permet de relier le centre d'une algèbre enveloppante d'une algèbre de Lie de dimension finie \(\mathfrak{g}\) avec l'algèbre des polynômes invariants sur le dual de \(\mathfrak g\). Après avoir donné quelques motivations nous expliquerons comment le théorème de formalité de Kontsevich permet de démontrer l'existence d'un tel isomorphisme qui se trouve être juste le sommet de l'iceberg cohomologique.
• Rupert Yu (Reims)
  Eléments nilpotents dans les algèbres de Lie semisimples.
  La classe de conjugaison d'une matrice carrée nilpotente est déterminée par les tailles de ses blocs de Jordan. Cette caractérisation admet des généralisations aux éléments nilpotents d'une algèbre de Lie semisimple. Dans ce cours, nous présentons certaines de ces caractérisations, et nous étudions ensuite quelques propriétés géométriques de l'ensemble des éléments nilpotents.

    Participants

• Liste des participants

  J. Alev Q. Bazin V. Beck T. Beaudouin R. Bou Daher J. Bustillo Ramirez J. Buteau P. Caldero

  D. Cazzaro R. Dal Maso A Demarais V. Dendoncker E. Evseeva A.-S. Gleitz J. Haut N. Jacon

  D. Jondreville S. Korvers M. Kreusch A. Laurent A. Lacabanne C. Lecouvey C. Mammez S. Masson

  M. Medina G. Mendousse S. Morier-Genoud V. Ovsienko M. Pevzner L. Poulain d'Andecy I. Tounkara R. Yu